淺釋"蒙地卡羅"算法：用"亂數"找π值

叫"蒙地卡羅"的原因，是因為似賭場：在一段長時間內，賭局的結果應趨向預期的機會率。

例如賭大小，玩一百萬局的話，大與小應趨向各佔50%。

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來求Pi(π)，在第一象限（右上，X, Y 均為正數）隨機選四個點，可能得到下圖的結果。

其比例：

        圓內的點數  除以  整個四方形的點數     =     3/4

所以，整個圓形便是乘四：  3/4 x 4 = 3

我們知道 π 是 3.14... 結果誤差只有0.14..，看來不錯。如果我們隨機選四十點、四千點、四千萬點，將得出更準確數字。

那問題來了，怎樣判定在圓內（綠色）還是圓外（紅色）？

用亂數選出 x 與 y，算出與圓心距離，如果少過或等於半徑，就是圓內了 。

                 __________

距離 ＝ √ (x^2 + y^2)

用 javascript 程式 展示

function inCircle(x, y) {

    const radius = 1

    let distance = Math.sqrt(x * x + y * y)
    return (distance <= radius) 
}

var inside = 0
const total = 1e6
for (let i = 0;  i < total; i++ ) {
    x = Math.random()
    y = Math.random()
    if (inCircle(x, y))
        inside ++
}

pi = (inside / total) * 4

console.log('Calculated Pi, π is', pi)

我得到的答案是 3.139668，準確到點後二位，不錯吧？  ;)

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知其然，亦要知其所以然，為什麼可算出答案？

你可想像圓內密密麻麻塞滿了點，其數量的比例，等同 面積的比例。

以 1 做半徑

1/4 圓的面積是   (pi * r * r ) / 4 = pi / 4

右上角四方的面積是  r * r = 1

事實上Pi 的定義，正是基於 四方形與內接圓的面積成正比。